Задание 13 ОГЭ: всё о решении неравенств — теория и практика

https://dev.el-ed.ru/zadanie-13-neravenstvo-gotovimsya-k-oge-matematika/

Что представляет собой задание 13 на ОГЭ по математике

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Это задание твой гарантированный балл в копилку, если разобраться в нескольких простых правилах. Здесь тебе не нужно расписывать длинные доказательства или решать уравнения на две страницы. Задача проверяет базовый навык: видишь неравенство — находишь его решение и показываешь ответ на координатной прямой. Всё.

В бланке тебя ждёт либо набор пронумерованных рисунков с уже отмеченными точками, либо поле, куда нужно вписать конкретный числовой промежуток. Выбрать правильный вариант или записать ответ ровно таким, каким его видит компьютер. Вот твоя цель. И она стоит 1 первичного балла.

Общая информация о задании

Оформление этого задания в КИМах выглядит так: тебе дают неравенство (или систему) и 4 варианта графиков на координатной прямой. Твоя задача — решить его устно или на черновике, а затем найти тот рисунок, где закрашены нужные точки и правильно расставлены стрелки. Ошибка здесь бывает не столько в вычислениях, сколько в невнимательности к скобочкам или направлению штриховки.

Обрати внимание на знак неравенства — от него зависит, как ты запишешь ответ. Строгий знак — точка на прямой пустая, в ответе круглая скобка. Нестрогий — точка закрашена, скобка квадратная. Это кажется мелочью, но на ЕГЭ за неправильную скобку могут снизить балл, даже если ты решил всё верно. Так что всегда проверяй форму записи в самом конце.

На решение не должно уходить много времени. Этот номер относится к базовой части экзамена, где нет премудростей, которые любят прятать в сложной второй части (например, в задании 20). Если ты видишь привычные x, числа и знаки уравнения, но с символом < вместо =, действуй по стандартному алгоритму, и ответ не заставит себя ждать.

Что тебе могут дать в этом задании

Самый частый гость в этом задании — линейное неравенство. Выглядит оно знакомо, почти как линейное уравнение. Например, 4−3x<31. Решается оно также: x оставляем в левой части, числа переносим вправо, получаем −3x<27.

И тут самый коварный момент — деление на отрицательное число. Делим обе части на −3 и обязательно переворачиваем знак неравенства: x>−9.

Второй возможный вариант — система двух линейных неравенств. Её обещают реже, но о ней забывать не стоит. Техника простая: решаешь каждое неравенство по отдельности, а потом ищешь их пересечение на общей оси. Запомни удобную аналогию: это как накладывать два трафарета друг на друга, оставляя только общую закрашенную область.

Третья разновидность — квадратные неравенства. Они уже посложнее, здесь без метода интервалов не обойтись. Берёшь выражение x² − 5x + 6 > 0, находишь корни: 2 и 3. Отмечаешь их на прямой, если знак строгий, точки пустые. Дальше расставляешь знаки на промежутках и смотришь, где условие выполняется. Всё остальное — дело техники. На ОГЭ это тоже бывает, так что лучше быть готовым.

В ответе получится объединение промежутков: `(−∞; 2) ∪ (3; +∞)`. Не пугайся, если увидишь такое на экзамене — алгоритм отработан и решается за пару минут.

Что нужно знать для успешного решения

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Первое, без чего нельзя заходить на экзамен — это язык числовых промежутков. Ты должен мгновенно переводить запись x>−9 на графический язык: незакрашенная точка на отметке −9 и жирная стрелка, уходящая вправо. И наоборот, глядя на рисунок, чётко понимать, как записать это в бланк квадратными или круглыми скобками.

Второе — твёрдое правило смены знака. Когда ты умножаешь или делишь обе части неравенства на отрицательное число, знак меняется на противоположный. Это не прихоть математиков, а строгая необходимость, которую легко проверить на пальцах: −2<1. Умножь обе части на −1 и получишь 2>−1, что абсолютно верно.

Третье — техническая грамотность. Научись без ошибок переносить слагаемые через знак неравенства, приводить подобные и правильно отмечать строгое и нестрогое неравенство. Обидно потерять балл, идеально решив пример −3x=9, но забыв, что при неравенстве −3x<9 ответ будет x>−3, а выбран неправильный рисунок с закрашенной точкой. Автоматизм здесь решает всё.

Линейные неравенства: действуй по шагам и не ошибёшься

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Такое неравенство решается по той же схеме, что и уравнение: перенос, приведение подобных, деление на коэффициент. Но есть один важный нюанс — если коэффициент отрицательный, знак неравенства меняется на противоположный. Это ключевой момент, из-за которого чаще всего теряют баллы. Разберём, как его не пропустить и записать ответ правильно.

Алгоритм решения

Если ты умеешь решать уравнения, с неравенствами проблем не будет — принцип тот же. Но есть одно важное отличие: когда делишь на отрицательное число, знак разворачивается. Это главный момент, на котором теряют баллы. Запомни его, и ошибок не будет.

Алгоритм простой:

1. раскрываешь скобки;
2. переносишь x влево, числа вправо, меняя знаки;
3. приводишь подобные;
4. делишь на число перед x.

Если число положительное — знак не трогаешь. Если отрицательное — меняешь на противоположный. Запомни это, и никаких сомнений в ответе не останется.

Как это работает? Разбираем на конкретных примерах

Лучше всего разбирать алгоритм на конкретных примерах — так ты увидишь все шаги в действии. Возьмём два простых неравенства, которые часто встречаются в задании 13 ОГЭ.

Пример 1. Решим −5+5x<0. Переносим число −5 в правую часть, меняя знак: 5x<5. Теперь разделим обе части на 5, коэффициент положительный — знак не меняем: x<1. Ответ записываем промежутком: (−∞; 1).

Пример 2. Рассмотрим 4−3x<31. Сначала перенесём 4 вправо: −3x<31−4, то есть −3x<27. Здесь коэффициент перед x равен −3 — он отрицательный. Делим на −3 и обязательно меняем знак неравенства с «меньше» на «больше»: x>−9. Ответ: (−9; +∞).

Видишь, всё логично. В первом примере получился x<1, во втором из-за смены знака вышло x>−9. Чуть позже мы покажем, как эти ответы выглядели бы на прямой.

Как изобразить решение на координатной прямой

В задании ОГЭ может попасться требование показать решение на числовой прямой. Для x > −9 ставим пустую точку на −9 и заштриховываем всё, что правее. Ответ записываем как промежуток: (−9; +∞). И не забываем: скобки круглые, потому что −9 в ответ не входит. Это важно. На этом часто теряют баллы.

Для решения x>−9 действуем похоже. На прямой ставим выколотую точку на −9 и штрихуем всё, что правее — туда уходят все числа больше −9. Промежуток записываем как (−9; +∞), и скобки снова круглые, потому что сама точка −9 решением не является.

Бывают и нестрогие неравенства со знаками ≤ или ≥. Для них точка на прямой будет закрашенной — её значение тоже подходит. В ответе мы ставим квадратные скобки.

Этот принцип работает для любых линейных неравенств: строгий знак — выколотая точка и круглая скобка, нестрогий — закрашенная точка и квадратная скобка. Скоро ты будешь рисовать эти лучи автоматически.

Системы неравенств: как найти общую часть решений

Система неравенств представляют собой несколько неравенств, которые объединили фигурной скобкой. Она обозначает, что нам нужны такие значения x, которые выполняют все условия одновременно.

Решить систему — значит найти общую часть решений каждого неравенства. Представь, что каждое неравенство задаёт свой луч или отрезок на числовой прямой. Решением системы будет пересечение промежутков — множество чисел, лежащих во всех заштрихованных областях. За пределами общего участка не подойдёт ни одно число: если оно нарушает хотя бы одно условие, система его «забракует».

Именно поэтому в ответе системы почти всегда получается один промежуток (или конкретное число) — это и есть та самая общая часть, где сходятся все решения. Если же общей части нет, система не имеет решений.

Пошаговый метод решения

Чтобы не запутаться в системе, у меня есть простой план. Он работает всегда.

1. Сначала решаешь первое неравенство — как будто второго нет.
2. Потом второе — так же отдельно.
3. Получаешь два промежутка.
4. Дальше — рисуешь их на одной прямой, один под другим, и на третьей линии отмечаешь, где они совпадают. Это и есть пересечение.
5. Потом смотришь на границы — входят они или нет (по знакам неравенств).
6. И записываешь ответ промежутком.

Сначала рисовать кажется муторно, но это лучший способ не потерять балл. Натренируешься — будешь находить общую часть почти мгновенно.

Примеры систем из задания 13

Разберём две системы, похожие на те, что встречаются на экзамене.

Пример 1:

{ x+2,7≤0,

x+4≥1

Решаем первое: x+2,7≤0 ⟹ x≤−2,7. Решаем второе: x+4≥1 ⟹ x≥−3.

На прямой штрихуем: от −3 и правее (включая −3) и от −2,7 и левее (включая −2,7). Общая часть лежит между ними, и обе границы включены.

Ответ: [−3; −2,7]. Именно так выглядит общая часть решений — все числа от −3 до −2,7, включая эти концы.

Пример 2:

{ 4−3x<31,

−5+5x<0

Первое неравенство: 4−3x<31 ⟹ −3x<27 ⟹ x>−9. Граница −9 не включена. Второе: −5+5x<0 ⟹ 5x<5 ⟹ x<1. Граница 1 не включена.

Общая часть — все числа строго больше −9 и строго меньше 1. Это открытый промежуток (−9; 1). На рисунке ты увидишь пересечение двух светлых штриховок без закрашенных кружков на концах.

Как записать ответ для системы

Ответ системы неравенств — это промежуток или специальный знак. Квадратные скобки [ или ] ставь тогда, когда граница входит в решение (знаки ≤ или ≥). Если неравенство строгое (< или >), используй круглые скобки. Знак бесконечности ∞ или −∞ всегда окружай круглой скобкой — бесконечность никогда не может «включиться» в промежуток.

Если общая часть полностью отсутствует — например, одно неравенство требует x>5, а другое x<3, — то система несовместна. Тогда в ответе пиши ∅ (пустое множество). Но чаще всего в задании 13 ты получишь аккуратный отрезок или интервал — главное, тщательно найти пересечение.

Типичные ошибки при решении неравенств на ОГЭ

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Давай разберём самые коварные ловушки, в которые попадают почти все на этом задании. Когда ты знаешь эти моменты в лицо, шанс потерять балл стремится к нулю.

Ошибка №1: не меняют знак при делении на отрицательное число. Это классика жанра. Ты спокойно решаешь неравенство, приводишь подобные, и вот он — финальный шаг. Допустим, у тебя получилось 3x+1≥7x−7. Переносишь всё в одну сторону, получаешь −4x≥−8. Теперь нужно просто разделить обе части на −4, чтобы освободить x.

И вот тут мозг, обрадованный лёгкой победой, часто даёт сбой. Рука машинально пишет x≥2, хотя правильный ответ — x≤2. Почему? Потому что −4 — это отрицательное число.

Запомни железное правило: когда ты умножаешь или делишь на отрицательное число, знак неравенства всегда меняется на противоположный. Меньше становится больше, больше — меньше. В этом кроется главная причина ошибок, не дай ей себя обмануть.

Ошибка №2: путают строгие и нестрогие неравенства. Представь, что числовая прямая — это вечеринка. При строгом неравенстве (<, >) сама точка на праздник не попадает. Она «выколотая» — ты рисуешь её пустой внутри, а в ответе берёшь в круглую скобку, как будто обнимаешь воздух.

При нестрогом (≤, ≥) точка — полноправный гость. Она «закрашенная», а в ответе ты используешь квадратную скобку, как надёжную стену, которая включает это число в промежуток.

На экзамене часто просят выбрать правильный рисунок из четырёх вариантов. Один неверный кружочек или скобка, и балл улетает. Подходи к выбору придирчиво: сначала посмотри на знак неравенства, потом на точку на прямой, и только затем на скобки в ответе.

Ошибка №3: неверно находят пересечение промежутков. Системы неравенств проверяют твою способность видеть общую картину. Ты решил оба неравенства и получил два промежутка. Главная беда в том, что многие пытаются найти их общую часть в уме. Не делай так. Возьми и нарисуй одну числовую прямую. Сверху отметь штриховкой решение первого неравенства, снизу — второго.

Теперь просто посмотри, где эти «ковры» накладываются друг на друга. Заштрихованная с двух сторон зона и есть ответ. Бывает и такое, что промежутки разбегаются в разные стороны и не пересекаются вовсе. Тогда ты смело пишешь ответ «нет решений» или знак пустого множества. Без рисунка здесь легко ошибиться и принять желаемое за действительное.

Ошибка №4: неправильно записывают ответ. Решение найдено, но радоваться рано. Правила оформления строги и коварны. Самая популярная оплошность — неправильные скобки у бесконечности.

Запомни раз и навсегда: бесконечность никогда не может быть «закрашена» или заключена в квадратную скобку. Это не конкретное число, до которого можно дойти и остановиться. Ты всегда используешь круглую скобку для +∞ и −∞.

Второй момент — аккуратность. Проверь, то ли число ты записал в ответ. Если неравенство строгое, круглые ли скобки стоят у границ? Лучше потратить пять секунд и сверить ответ с финальным неравенством, чем потерять балл из-за досадной опечатки.

Советы: как быстро и без ошибок решить задание 13 на экзамене

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Давай разберёмся, как сделать задание 13 твоим надёжным источником баллов, а не головной боли. Эти советы помогут тебе тратить на него не больше пары минут и избегать обидных ошибок.

Алгоритм действий на экзамене

Представь, что перед тобой рецепт любимого блюда: сделаешь всё по шагам — получишь отличный результат. Вот твой чёткий алгоритм решения задач по этой теме.

Шаг первый — определи тип. Посмотри на условие. Это одно неравенство (например, 4x−7>5) или система из двух? Систему ты узнаешь по фигурной скобке. В ней тебе нужно решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти общую часть их решений.

Шаг второй — начинаются преобразования. Ты должен привести неравенство к виду x слева, числа справа. Переносишь слагаемые — не забывай менять знаки. И самое важное: если в конце делишь на минус — знак неравенства переворачивается. Это правило — одно из самых частых мест для ошибок. Запомни его твёрдо: отрицательное число — знак меняется. Всё остальное — просто арифметика.

Шаг третий — рисуем прямую. Нашёл решение вроде x≥−2? Сразу изобрази его на координатной прямой. Не нужно чертить идеально по линейке, быстрый рисунок от руки лучше всякой путаницы в голове. Точку закрашивай, если она принадлежит промежутку (знаки ≥ или ≤), и оставляй пустой, если не принадлежит (знаки > или <). Затем заштрихуй нужную область — так ты увидишь интервалы на прямой, это и есть твой ответ.

Шаг четвёртый — выбор ответа. Теперь взгляни на предложенные варианты. Твой рисунок должен полностью совпадать с одной из картинок. Не торопись, сравни внимательно: где точка, в какую сторону направлена штриховка? Если ответ просят записать промежутком, вспомни: строгие знаки дружат с круглыми скобками, а нестрогие — с квадратными.

Как проверить себя

Самый надёжный способ убедиться, что ты не ошибся, — это устроить мини-проверку. Она занимает секунды, но спасает от глупых потерь балла.

Проверь себя: возьми любое число из того промежутка, который получился, и подставь его в исходное неравенство. Если всё выполняется, значит, решил правильно. А если неравенство нестрогое, проверь ещё и граничные точки. Они должны подходить.

Для системы — проверь точку пересечения промежутков: она должна удовлетворять обоим условиям. Если не подходит — ищи ошибку в решении.

Полезные лайфхаки

Иногда в голове всё смешивается, и от волнения даже простое правило «смены знака» может вылететь. Держу для тебя пару приёмов, которые помогут выкрутиться в такой ситуации.

1. Лайфхак 1. Если сомневаешься, просто не выполняй деление на отрицательное число. Перенеси всё в одну сторону, чтобы справа остался ноль.

Смотри: у тебя есть 5x−5<0. Ты спокойно переносишь пятёрку вправо, получаешь 5x<5, и вот тут делишь на положительное 5. Знак не меняется, ответ x<1 готов, а риск ошибки равен нулю.

1. Лайфхак 2. Второй трюк работает, когда переменная «спряталась» в правой части с отрицательным коэффициентом. Допустим, ты получил 0<7−2x. Не нужно героически тащить x влево через деление на −2. Просто поверни неравенство как зеркальное отражение: 7−2x>0.

Теперь переноси 2x вправо, и он станет положительным: 7>2x. Делим на положительное 2 и получаем x<3,5. Этот способ выручит тебя, когда в голове каша, а время на экзамене тикает.

Часто задаваемые вопросы

Как быть с дробью в неравенстве?

Своди всё к общему знаменателю и следи за знаком знаменателя. На практике в 13-м задании это почти не встречается — всё сводится к простому линейному виду.

Скобки: когда какие?

Квадратные — число входит в ответ, круглые — не входит. Бесконечность всегда с круглой скобкой.

Рисовать ли прямую?

В чистовик не надо, но на черновике обязательно нарисуй — сразу видно, где какие промежутки.

Нет решений, что писать?
Если интервалы не пересекаются, пиши ∅ или «нет решений». Такой ответ иногда встречается.

Знак при делении на отрицательное?
Всегда меняется на противоположный. Это главное правило, о котором нельзя забывать.

Переносить или нет?

Переноси — это стандартный метод, который не даёт запутаться в знаках.

Задание 13 и 20:

13-е — короткий ответ, обычно линейное неравенство. 20-е — с полным решением, там могут быть квадратные и дробные. Не путай эти два задания по уровню сложности.

Чувствуешь, что в голове каша из знаков, скобок и методов интервалов? На вебинаре нашей онлайн-школы мы разбираем эти ловушки на живых примерах и учим щёлкать 13-е задание за 30 секунд.

Запишись на пробный урок, и ты убедишься, что 1 балл за это задание всегда будет твоим!