Электрическое поле: формулы, напряжённость, потенциал и задачи ЕГЭ по физике

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Электрическое поле — один из разделов электродинамики, необходимый для подготовки к ЕГЭ по физике. В заданиях встречаются закон Кулона, напряжённость, потенциал, работа сил, принцип суперпозиции и движение заряженных частиц.

При решении важно не начинать вычисления сразу. Сначала стоит определить, какие источники создают взаимодействие, где находится рассматриваемая точка и какую величину требуется найти. От этого зависит выбор физической модели и нужного соотношения.

Напряжённость и сила

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Заряженные тела создают вокруг себя область, в которой другие заряды испытывают действие электрических сил. Для количественного описания этого действия используют напряжённость.

Она связана с силой, действующей на пробный заряд:

E⃗ = F⃗ / q.

Соответственно,

F⃗ = qE⃗.

В системе СИ единицей напряжённости служит Н/Кл. Также используется В/м; эти единицы эквивалентны.

Направление E⃗ удобно определять через положительный пробный заряд. На него воздействие направлено вдоль вектора. Для отрицательной частицы направление силы будет противоположным.

Это правило не означает, что сила всегда совпадает с направлением движения. Например, электрон может лететь вдоль E⃗, хотя действующая на него сила направлена навстречу скорости. В таком случае частица сначала замедляется, а затем при подходящих условиях меняет направление движения.

Сама характеристика не зависит от величины пробного заряда. При его изменении сила меняется пропорционально, поэтому отношение F/q сохраняется, если источники и окружающая среда остаются прежними.

Точечный источник

Во многих расчётных заданиях заряженное тело рассматривают как точечное. Это допустимо, если его размерами по сравнению с расстоянием до интересующей нас точки можно пренебречь.

Для вакуума используют:

E = k|Q| / r².

Здесь Q — величина источника, r — расстояние до точки наблюдения, а

k ≈ 9 · 10⁹ Н · м²/Кл².

У положительного источника линии направлены наружу, у отрицательного — к нему.

Для взаимодействия двух точечных объектов действует закон Кулона:

F = k|Qq| / r².

Он позволяет найти модуль силы. Её направление устанавливают отдельно: одинаковые знаки соответствуют отталкиванию, разные — притяжению.

Из зависимости от r² следует важный вывод. Если увеличить расстояние втрое, результат уменьшится в девять раз.

В диэлектрической среде в школьной модели учитывают относительную проницаемость:

E = k|Q| / (εr²).

Такой вариант нужен только тогда, когда характеристики среды заданы в условии.

Несколько источников: принцип суперпозиции

Если взаимодействие создают несколько тел, результирующий вектор получают сложением вкладов:

E⃗ = E⃗₁ + E⃗₂ + …

Здесь нельзя просто сложить числовые значения. Сначала нужно установить, куда направлен каждый вектор в выбранной точке.

Возможны разные случаи:

1. при совпадающих направлениях величины складываются;
2. при противоположных — из большей вычитается меньшая;
3. для взаимно перпендикулярных векторов можно использовать теорему Пифагора;
4. при произвольной геометрии удобно перейти к проекциям на оси.

Рассмотрим симметричный пример. В середине между двумя одинаковыми положительными источниками создаются два равных по модулю, но противоположно направленных вклада. Они компенсируют друг друга, поэтому результирующая величина равна нулю.

Если один источник сделать отрицательным, направления между объектами совпадут. В этом случае компенсации не произойдёт.

Потенциал и энергия

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Напряжённость описывает силовое воздействие. Потенциал позволяет перейти к энергетическому описанию взаимодействия.

Его вводят как отношение потенциальной энергии к заряду:

φ = Wₚ / q.

Это скалярная величина, поэтому направление для неё не указывают. Единица измерения — вольт.

Связь с потенциальной энергией:

Wₚ = qφ.

Для точечного источника в вакууме при нулевом значении на бесконечности:

φ = kQ / r.

В отличие от выражения для модуля E, здесь знак Q сохраняется. Поэтому положительный источник создаёт положительный потенциал, а отрицательный — отрицательный.

Если источников несколько, их вклады складываются алгебраически:

φ = φ₁ + φ₂ + …

То есть здесь не требуется работать с направлениями векторов.

Это позволяет увидеть важное различие. В центре между двумя одинаковыми положительными источниками силовые воздействия могут взаимно уничтожиться, тогда как энергетическая характеристика останется отличной от нуля. Поэтому условие E = 0 ещё не означает φ = 0.

Работа при перемещении частицы

При переходе из точки 1 в точку 2 электрические силы совершают работу:

A = q(φ₁ − φ₂).

Через изменение потенциальной энергии это же соотношение записывается так:

A = −ΔWₚ.

Если ввести

U₁₂ = φ₁ − φ₂,

получится:

A = qU₁₂.

Для электростатического взаимодействия работа зависит от начального и конечного положения, а не от конкретного маршрута. Поэтому при движении по замкнутой траектории её значение равно нулю.

Когда над частицей работает только электрическая сила, справедлива теорема о кинетической энергии:

ΔEₖ = A.

Положительное значение работы означает увеличение кинетической энергии, отрицательное — её уменьшение.

Выражение: Eₖ = |q|U тоже нельзя использовать без анализа условия. Оно подходит, например, когда частица стартует из состояния покоя и разгоняется электрическими силами, а U обозначает модуль соответствующей разности потенциалов.

Однородная область между пластинами

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Особый случай — пространство, где модуль и направление E одинаковы во всех точках. Его силовые линии изображают параллельными и равномерно расположенными.

В школьных задачах такую ситуацию часто моделируют между двумя большими параллельными пластинами. Если рассматривать область вдали от краёв, влиянием краевых эффектов пренебрегают.

Для такой системы:

E = U / d,

где U — модуль разности потенциалов, а d — расстояние между пластинами.

Расстояние берут по перпендикуляру к их поверхности. Важно помнить, что E = U/d не является универсальной зависимостью для любого расположения зарядов. Она относится к однородной области.

Потенциал уменьшается в направлении E⃗. Поэтому линии направлены от положительной пластины к отрицательной.

Если переместить частицу перпендикулярно этому направлению, работа сил будет нулевой. В общем случае:

A = qEs cos α, где s — величина перемещения, а α — угол между ним и E⃗. При α = 90° получаем cos α = 0 и, следовательно, A = 0.

Движение заряженной частицы

При отсутствии других воздействий сила со стороны электрического поля равна:

F⃗ = qE⃗.

Совместно со вторым законом Ньютона это даёт:

a⃗ = qE⃗ / m.

В однородной области вектор E постоянен, поэтому ускорение также не меняется.

Если начальная скорость направлена под углом к силовым линиям, движение удобно рассматривать по двум направлениям. Вдоль E частица движется с постоянным ускорением, а по перпендикулярной координате — равномерно. Поэтому итоговая траектория является параболой.

При наличии других сил их необходимо включить в уравнение движения. Например, в состоянии равновесия электрическое воздействие может компенсировать силу тяжести:

|q|E = mg.

Примеры расчётов

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Поле точечного заряда

В вакууме расположен заряд Q = 2 нКл. Необходимо определить E на удалении 30 см.

Значения приводятся к СИ:

Q = 2 · 10⁻⁹ Кл, r = 0,30 м.

Применяется выражение для точечного источника:

E = k|Q| / r².

Получается:

E = 9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁹ / 0,30² = 200 Н/Кл.

Поскольку заряд положительный, направление E идёт от источника. Если расстояние станет вдвое больше, величина снизится в четыре раза:
E = 50 Н/Кл.

Работа отрицательного заряда

Заряд q = −2 мкКл движется из точки с потенциалом 100 В в точку с потенциалом 300 В.

Работа определяется выражением:

A = q(φ₁ − φ₂).

Подставив значения, получаем:

A = −2 · 10⁻⁶ · (100 − 300) = 4 · 10⁻⁴ Дж.

Итог положителен. Значит, при отсутствии других сил работа электрического поля повышает кинетическую энергию заряда.
Одновременно потенциальная энергия падает на 4 · 10⁻⁴ Дж.

Частица между пластинами

Предположим, что между параллельными пластинами подано 600 В, а зазор равен 3 см. Внутри присутствует частица с q = 5 нКл.

Расстояние переводится в СИ:

d = 0,03 м.

Сначала вычисляется величина E:

E = 600 / 0,03 = 2 · 10⁴ В/м.

После этого находится сила:

F = |q|E = 5 · 10⁻⁹ · 2 · 10⁴ = 10⁻⁴ Н.

Поскольку заряд положителен, воздействие ориентировано к отрицательной пластине. При перемене знака q направление сместится, а модуль не изменится.

Универсальный порядок решения

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Для задач этого раздела удобно придерживаться одной последовательности:

1. Определить, какая физическая модель дана в условии.
2. Различить источник Q и движущуюся или помещённую в поле частицу q.
3. Перевести исходные величины в СИ.
4. Нанести на рисунок направления сил и векторов, если это необходимо.
5. Выбрать соотношение для искомой величины.
6. Выполнить алгебраические преобразования.
7. Подставить числа.
8. Проверить единицы, знак и направление результата.

Полезно помнить:

1. 1 мкКл = 10⁻⁶ Кл;
2. 1 нКл = 10⁻⁹ Кл;
3. 1 см = 10⁻² м.

Если величина r в выражении стоит во второй степени, коэффициент пересчёта также необходимо возвести в квадрат.

Ошибки, которые часто встречаются в задачах

1. Складывание модулей вместо векторов. При нескольких источниках сначала устанавливают направление каждого вклада.
2. Потеря знака q. Это особенно критично при вычислении работы и потенциальной энергии.
3. Путаница между скоростью и ускорением. Сила задаёт изменение скорости, но не обязана быть направлена так же, как сама скорость.
4. Механическое применение E = U/d. Перед использованием этой зависимости нужно убедиться, что рассматривается однородная область.
5. Неверное понимание работы. Следует различать работу электрических сил и работу внешнего воздействия. Их знаки и физический смысл могут различаться.

Если частица перемещается медленно и её кинетическая энергия не меняется, работа электрических сил компенсируется работой внешней силы. В остальных ситуациях необходимо учитывать все действующие силы и изменение энергии системы.

Для успешного решения задач важно различать несколько связанных величин. Напряжённость показывает силовую характеристику, потенциал связан с энергией, а работа определяется изменением потенциальной энергии или разностью потенциалов.

Если нужна системная подготовка к ЕГЭ по физике, можно последовательно разобрать основные разделы, закрепить формулы на задачах и отработать типичные экзаменационные ошибки с преподавателем. Подробнее о формате занятий — на сайте el-ed.ru.