ЕГЭ‑мат профиль без паники: логарифмические уравнения

Почему логарифмы пугают и как перестать бояться

Да, при виде логарифмов многие чувствуют себя так, будто столкнулись с шифром. На самом деле, это просто компактная запись для степени.

Представьте, что вы знаете, что 2³ = 8. Логарифм позволяет задать обратный вопрос: «В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8?» Ответ записывается как log₂8 = 3. Это его единственная роль — выразить показатель степени.

Вот как это работает в уравнениях:

• Найдите ОДЗ (область допустимых значений). Это обязательный стартовый шаг. Аргумент логарифма (logₐ b) — число b, должен быть строго больше нуля. Основание a положительное и не равное 1. Запишите эти ограничения сразу. Без них решение может оказаться неверным.

• Преобразуйте уравнение. Используйте основные формулы: логарифм суммы, разности, степени. Часто помогает переход от логарифмического уравнения к равносильному ему показательному. Например, log₂ x = 3 равносильно x = 2³.

Типичная ошибка — решить уравнение, получить красивый ответ x = -2 и только потом вспомнить, что аргумент логарифма не может быть отрицательным, поэтому этот корень нужно отбросить. Если начнете с проверки ОДЗ, сэкономите время, избежите этой ловушки.

Просто помните: логарифмы — это не новая математика, а другой способ говорить о степенях. Ваш главный инструмент аккуратность и привычка сразу находить, при каких x выражение под знаком log имеет смысл.

Основные типы логарифмических уравнений

Уравнения с логарифмами перестают быть хаосом, когда видите их внутреннюю структуру. Условно их можно разделить на три типа, и для каждого есть четкая стратегия.

Уравнения с одинаковым основанием. Это самый простой случай. Если логарифмы с равными основаниями стоят по обе стороны равенства, можете их «снять», приравняв аргументы. Делать это можно только после проверки ОДЗ или с обязательной последующей подстановкой найденных корней в исходное уравнение.

• Пример: log₃(x — 1) = log₃(9); ОДЗ: x — 1 > 0 — x > 1. «Снимаем» логарифмы: x — 1 = 9 — x = 10. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Уравнения, сводящиеся к одному основанию. Когда основания разные, ваша первая задача сделать их одинаковыми. Для этого используйте формулу перехода к новому основанию: logₐ b = logₖ b / logₖ a. Выберите удобное основание (например, 10, e или одно из данных) и приведите все логарифмы к нему.

• Пример: log₂ x + log₄ x = 6. Приводим log₄ x к основанию 2: log₄ x = log₂ x / log₂ 4 = log₂ x / 2. Уравнение становится линейным относительно log₂ x.

Уравнения с комбинациями функций. Здесь логарифм соседствует с многочленами, корнями, показательной функцией. Стратегия — изолировать логарифмическую часть. Часто помогает замена: обозначьте logₐ f(x) = t. Это превращает сложное уравнение в стандартное алгебраическое относительно новой переменной t.

• Пример: log²₂ x — 3log₂ x + 2 = 0. Замена: t = log₂ x. Уравнение становится квадратным: t² — 3t + 2 = 0. После нахождения t не забываем вернуться к x.

Ваш алгоритм для любого типа. Найти ОДЗ (область определения). Определить тип уравнения и применить соответствующую стратегию (приравнять аргументы, сделать замену основания, ввести новую переменную). Решить полученное простое уравнение. Проверить, чтобы найденные корни входили в ОДЗ.

Такой подход заменяет растерянность осознанным планом действий.

Ошибки, которые делают почти все

Самые досадные ошибки в уравнениях с логарифмами связаны с нарушением базовых правил, которые кажутся очевидными.

Главный промах — начать решать, не определив область допустимых значений. Сначала нужно записать, что каждый аргумент логарифма больше нуля, а основание положительно и не равно единице. Если пропустить этот шаг, можно получить посторонний корень или потерять верный.

Другая частая проблема — неверное применение свойств. Складывать логарифмы можно только при одинаковых основаниях, превращая сумму в логарифм произведения. Многие ошибочно раскладывают логарифм суммы на сумму логарифмов, что в корне неверно.

Также важно не торопиться «снимать» логарифмы, приравнивая аргументы. Это допустимо только если основания одинаковы, вы уже проверили, что оба аргумента положительны.

Наконец, избегайте приближенных вычислений. Если ответ получается в виде log₂ 5 или √3, оставляйте его в точной форме. Округление до десятичной дроби может привести к потере балла за неверный ответ.

Тактика решения без лишней паники

Чтобы не утонуть в символах, придерживайтесь этой последовательности действий. Она помогает решать уравнения системно, а не методом проб и ошибок.

Шаг 1: Найдите область определения (ОДЗ). Это отправная точка. Запишите условия для каждого логарифма в уравнении:

• Аргумент (выражение под знаком log) > 0.

• Основание > 0 и ≠ 1. 

Без этой проверки все дальнейшие преобразования рискуют потерять смысл.

Шаг 2: Приведите к одному основанию. Если основания логарифмов разные (log₂ x и log₈ x), сведите их к общему. Используйте формулу перехода: logₐ b = logₖ b / logₖ a. Часто удобно выбрать основание 2, 10 или e.

Шаг 3: Упростите, используя свойства. Примените формулы для работы с логарифмами:

• logₐ (X * Y) = logₐ X + logₐ Y;

• logₐ (X / Y) = logₐ X — logₐ Y;

• logₐ (Xᵖ) = p * logₐ X;

Цель — сгруппировать или, наоборот, разложить логарифмы, чтобы уравнение стало проще.

Шаг 4: Избавьтесь от логарифмической формы. После упрощения у вас может получиться:

• logₐ f(x) = C, переходите к показательной форме: f(x) = aᶜ.

• logₐ f(x) = logₐ g(x), приравняйте аргументы: f(x) = g(x) (но только если основания одинаковы и вы в рамках ОДЗ!).

Шаг 5: Проверьте корни по ОДЗ. Полученные числа подставьте в условия, записанные в Шаге 1. Отбросьте те, которые не удовлетворяют ограничениям (например, делают аргумент отрицательным). Только оставшиеся корни являются верным ответом.

Важно сохранять хладнокровие. Если решение не клеится, отложите задачу на минуту, переключитесь. Часто возвращение со свежим взглядом помогает сразу увидеть ключ, который ускользал в суете.

Если хочется не просто выжить на экзамене, а реально прокачаться, то гляньте онлайн-курс подготовки к ЕГЭ. Там ребята классно объясняют, без занудства и сухих лекций.

Примеры, которые реально помогают понять

Разберем примеры, чтобы увидеть алгоритм в действии.

Пример 1: Простой случай. Дано: log₃(x − 1) = 2. Сразу ОДЗ: Аргумент логарифма (x − 1) > 0 — x > 1. Избавляемся от логарифма: По определению, logₐ b = c означает aᶜ = b. Значит, 3² = x − 1. Решаем: 9 = x − 1 — x = 10. Проверяем по ОДЗ: 10 > 1 — верно. Ответ: x = 10.

Пример 2: Уравнение, требующее преобразований. Дано: log₅(x) + log₅(x − 4) = 2. ОДЗ: x > 0; x − 4 > 0 — x > 4. Объединяя, получаем x > 4.

• Преобразуем сумму логарифмов: Используем свойство logₐ b + logₐ c = logₐ (b*c). Получаем log₅[x(x − 4)] = 2.

• Избавляемся от логарифма: Переходим к показательной форме: x(x − 4) = 5² — x² − 4x = 25.

• Решаем квадратное уравнение: x² − 4x − 25 = 0. Дискриминант D = 16 + 100 = 116. Корни: x = (4 ± √116)/2 = (4 ± 2√29)/2 = 2 ± √29.

• Выбираем корни по ОДЗ (x > 4): 2 − √29 ≈ 2 − 5.39 — меньше 4, не подходит. 2 + √29 ≈ 2 + 5.39 — больше 4, подходит. Ответ: x = 2 + √29.

Почему работает проговаривание? Когда вслух комментируете свои шаги («сначала пишу ОДЗ… теперь применяю свойство суммы логарифмов…»), вынуждаете мозг обрабатывать информацию последовательно, осознанно. Это предотвращает автоматические, необдуманные действия, резко снижает количество ошибок по невнимательности.

Как готовиться и сохранять уверенность

Освоить логарифмы можно, только перейдя от заучивания к пониманию их роли. Вспомните: логарифм — это просто другая форма записи степени. Как только вы это примите, многие уравнения перестанут казаться запутанными.

Ваш прогресс зависит не от количества решенных задач за день, а от регулярности. Выделяйте на эту тему 20-30 минут через день. Решите три-четыре уравнения, но разными способами: одно через приведение к одному основанию, другое с использованием свойств суммы, третье с помощью замены переменной. Подход дает гибкость, а не шаблонность.

Чтобы не переутомиться, строго дозируйте нагрузку. После 30 минут работы с логарифмами переключитесь на геометрию или сделайте паузу. Мозг лучше усваивает информацию порциями, а не подряд.

Ваш результат зависит только от вашего темпа. Кто-то разберётся за три дня, кому-то потребуется две недели — это нормально. Главный показатель не скорость, а ваша способность объяснить решение своими словами. Если можете это сделать, значит, уже перестали бояться, начали понимать. Это и есть главная победа перед экзаменом.