Формула разности квадратов

Что скрывается за формулой разности квадратов

Разность квадратов — это просто произведение суммы и разности. Запомни её так: a² − b² = (a − b)(a + b). Здесь нет сложных правил. Главное увидеть в выражении два квадрата, которые вычитаются. Например, x² − 9 — это x² − 3², значит, можно разложить: (x − 3)(x + 3).

Чаще всего эту формулу используют, чтобы сократить дробь или упростить уравнение. Если в числителе или знаменателе есть разность квадратов, замени её произведением, часто выражение станет намного проще.

Почему это важно на практике? Потому что она учит видеть структуру за символами. Это как собирать пазл: если узнаешь знакомый фрагмент, задача решается быстрее. В физике или информатике такая же логика помогает раскладывать сложные зависимости на простые множители.

Попробуй применить её к 4y² − 25. Что получится?

Как я запомнил формулу без зубрежки

Не запоминай формулу, а разберись, как она получается. Раскрой скобки (a + b)(a − b): a + a(−b) + ba + b(−b) = a² − ab + ab − b².

Заметь: −ab и +ab взаимно уничтожаются. Остаётся только a² − b². Вся магия в этой простой симметрии.

Чтобы не забыть, представь, что это «отмена» средних слагаемых. Стоит сложить разность и сумму — и крест-накрест произведения уходят. Попробуй на примере: (x + 4)(x − 4) = x² − 16. Никаких лишних шагов.

Если нужно закрепить, рисуй схему: квадрат первого минус квадрат второго, тут же рядом — произведение двух скобок. Зрительная память часто работает надежнее.

А главное — начни применять её в заданиях. Как только заметишь конструкцию вида (что-то)² − (другое)², сразу сворачивай в произведение. Со временем это станет автоматическим.

Если сильно сомневаешься в себе, то загляни на курс подготовки для 7 класса по математике, где объясняют такие вещи спокойно, по-человечески, с практикой. Я сам пользовался похожими курсами, когда помогал своим ученикам.

Ошибки, которые совершают даже отличники

Главная ловушка — применять формулу не к тому выражению. Она работает только на разность квадратов, то есть там, где одно выражение в квадрате вычитается из другого. Если между ними плюс, то формула не подходит.

Часто ошибаются со знаками в получившихся скобках. Правильный шаблон: (a − b)(a + b). Обрати внимание — перед b в первой скобке стоит минус, во второй плюс. Если сделать оба знака одинаковыми, результат будет неверным.

Всегда проверяй, является ли каждое слагаемое полным квадратом. Например, x² − 5 нельзя разложить по этой формуле, так как 5 не квадрат целого числа. А вот x² − 9 можно, ведь 9 это 3².

Самый надежный способ избежать ошибки — выполнить обратную проверку. После того как ты разложил выражение, мысленно перемножь полученные скобки. Если вернёшься к исходному выражению, значит, всё сделано правильно.

Возьмем пример: 16t² − 1. Видим разность: (4t)² − 1². Разлагаем: (4t − 1)(4t + 1). Проверяем: умножаем скобки (4t − 1)(4t + 1) = 16t² + 4t − 4t − 1 = 16t² − 1. Всё сошлось. Это и есть твой контроль.

Формула разности квадратов в действии

Ты можешь применять ее постоянно, если смотреть на выражения внимательно. Ключевой момент — увидеть в задаче разность двух квадратов.

Сокращение дробей. Это самый частый случай. Видишь в числителе что-то вроде m² − n² сразу заменяй на (m − n)(m + n). Если в знаменателе есть (m − n) или (m + n), дробь сократится в один шаг. Пример: (9a² − 4) / (3a − 2) = ((3a − 2)(3a + 2)) / (3a − 2) = 3a + 2.

Решение уравнений. Когда уравнение содержит разность квадратов, его можно разложить на множители, чтобы найти корни. Пример: x² − 25 = 0 превращается в (x − 5)(x + 5) = 0. Отсюда сразу видно: x = 5 или x = -5.

Упрощение выражений. Это помогает убрать сложность и сделать дальнейшие шаги очевидными. Пример: (c + d)² − (c − d)². Каждая часть — квадрат. Раскладываем по формуле: = [(c+d) − (c−d)] * [(c+d) + (c−d)] = (c + d − c + d) * (c + d + c − d) = (2d) * (2c) = 4cd.

Как начать видеть эти паттерны? Каждый раз, когда встречаешь выражение, спроси себя: «Можно ли это представить как что-то в квадрате минус что-то другое в квадрате?». Это «что-то» может быть числом, переменной или даже целой скобкой, как в последнем примере.

Попробуй применить это к выражению: 49k² − 64. Получилось разложить?

Ответы на частые вопросы

Запомни главное: формула разности квадратов — это не просто строчка в учебнике, а удобный инструмент, который превращает сложное выражение в простое произведение. Её суть в одной строке: a² − b² = (a − b)(a + b). Всё остальное — это умение увидеть, где её можно применить.

Смотри на выражение. Если видишь, что одно число или выражение в квадрате вычитается из другого квадрата — это она. Например:

x² − 16 — это x² − 4².

25c² − 9d² — это (5c)² − (3d)².

(m+3)² − n² — здесь целая скобка (m+3) играет роль «a».

Далее просто подставляешь в шаблон (a − b)(a + b). Главная ловушка — не перепутать знаки в скобках: перед «b» в первой скобке минус, во второй плюс.

Лучшая страховка от ошибки — обратная проверка. После разложения мысленно перемножь полученные скобки. Если вернулся к исходному выражению, то ты всё сделал верно.

Где она спасает? В дробях: позволяет быстро сокращать. (p² − 36)/(p − 6) = (p−6)(p+6)/(p−6) = p+6. В уравнениях: помогает решать. 4x² − 25 = 0; (2x−5)(2x+5)=0; корни x=5/2 и x=-5/2. В упрощениях: превращает громоздкие выражения в компактные.

Не старайся вызубрить формулу как стих. Понимай ее логику: она работает, потому что при перемножении (a − b) и (a + b) средние слагаемые «ab» и «−ab» взаимно уничтожаются.

Начни с простых примеров, нужно довести до автоматизма, и ты заметишь, как многие задачи на упрощение и разложение начнут решаться быстрее, проще. Эта формула — один из тех надежных кирпичиков, на которых строится уверенное владение алгеброй.

Как применить знание на практике

Навык рождается в действии. Давай проверим.

Разложи 49x² – 36y². Сначала увидим квадраты: это (7x)² – (6y)². Значит, a = 7x, b = 6y. Подставляем в шаблон: (7x – 6y)(7x + 6y).
Проверь себя: перемножь эти скобки — вернёшься к исходному выражению.

Сократи дробь (a² – 9b²) / (a – 3b). Числитель — это разность квадратов: a² – (3b)² = (a – 3b)(a + 3b). Теперь дробь: (a – 3b)(a + 3b) / (a – 3b). Сокращаем на (a – 3b), получаем просто a + 3b.

Найди значение (m² – 25)/(m – 5) при m = 9. Числитель: m² – 25 = m² – 5² = (m – 5)(m + 5). После сокращения остаётся m + 5. Подставляем m = 9: 9 + 5 = 14. Можно было подставить сразу, но упрощение страхует от случайной ошибки в расчётах.

Главный вывод, который стоит вынести: эта формула — не абстракция. Это алгоритм действия, который экономит время и силы. Как только глаз научится замечать конструкцию ( )² – ( )², многие задачи будут решаться в уме.

А чтобы навык закрепился, попробуй придумать свой пример. Возьми два любых выражения, возведи их в квадрат, вычти одно из другого, разложи результат по этой формуле. Такая практика превратит правило в твой собственный инструмент.