Интенсив: дроби вычитание к ЕГЭ база

Почему даже простое вычитание дробей сбивает с толку

Многие теряют баллы ещё до того, как начинают считать — уже при поиске общего знаменателя. Кажется, что это база баз, но на практике часто встречаются записи вроде:

3/7 − 2/5 = 1/2 — потому что 3 — 2 = 1, а 7 — 5 = 2. Такой подход выглядит логично, если не понимать, что дроби — это не просто пары чисел, а части одного и того же целого.

Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно, чтобы они были измерены в одинаковых долях — как будто отрезаете куски от одного и того же пирога, разрезанного на равные части. Если один пирог разрезан на 7 долек, а другой — на 5, сначала их нужно подрезать так, чтобы количество долек совпало. Это и есть приведение к общему знаменателю.

Как только знаменатели одинаковые, вычитаем только числители. Знаменатель при этом не меняется — он задаёт масштаб, а не участвует в вычислении.

«Зачем всё это, если можно на калькуляторе?» — спросят некоторые. Но на базовом ЕГЭ по математике калькулятор не разрешён (согласно правилам ФИПИ). А умение работать с дробями нужно не только в отдельных примерах — оно всплывает в задачах на проценты, пропорции, площади и даже в расчётах по рецептам или скидкам.

Понимание, а не автомат — вот что спасает баллы.

Пример, который проясняет все за минуту

Возьмем 3/4 − 1/6. Чтобы вычесть, нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 4 и 6 — 12.
Первую дробь нужно умножить на 3/3 (получаем 9/12), вторую — на 2/2 (получаем 2/12). Теперь вычитаем: 9/12 − 2/12 = 7/12.

Сам алгоритм прост, но ошибки чаще всего случаются не из-за незнания, а из-за спешки:

• забывают умножить числитель,
  
• умножают только одну дробь,
  
• теряют минус при переписывании.

Поэтому лучше действовать по шагам, даже если кажется, что и так всё ясно. Несколько лишних секунд на запись спасут от потери балла.

Когда я впервые объяснял это другу, он удивился: «Как так — просто умножать дробь на другое число?» Да, можно — если умножить числитель, знаменатель на одно и то же число. Это не меняет значение дроби, а лишь «распаковывает» её.

Представьте: у вас три четверти пиццы. Если каждый кусок разрезать пополам, станет шесть восьмых — но пицца та же. То же самое происходит при приведении к общему знаменателю: мы не меняем величину, а лишь делаем доли сравнимыми. Это понимание, а ни механическое правило помогает не сбиться даже под давлением экзамена.

Типичные ловушки и как их обойти

Одна из самых частых ошибок — сокращать дроби до вычитания, не приведя их к общему знаменателю. Например, увидев 4/8 − 3/9, кто-то сразу запишет 1/2 − 1/3 и сочтет это «упрощением». 

На самом деле — так можно, но только если сократить обе дроби полностью перед любыми действиями. Проблема возникает, когда одну дробь упрощают, а вторую оставляют как есть. Тогда легко потерять масштаб и получить неверный результат.

Ещё одна ловушка — знак минус перед дробью, особенно если вычитаемая дробь сама отрицательная. Например: 1/2 − (−1/3). Здесь минус перед скобкой меняет знак внутри: получается 1/2 + 1/3. Если пропустить этот момент, ответ будет не просто неточным — он окажется в противоположной части числовой прямой.

Чтобы не запутаться, всегда записывайте каждый шаг. Сначала приведите дроби к общему знаменателю, затем аккуратно раскройте скобки, если они есть, и только потом вычитайте числители.

Мне помогает простое правило: «одна операция — одна строка». После каждого действия делаю паузу, сверяю знаки и единицы. Да, в черновике получается больше записей, но на экзамене дисциплина важнее скорости. Ошибки редко случаются из-за незнания — чаще всего рождаются в промежутке между «я знаю», «я записал».

Как связать тему дробей с другими разделами базы ЕГЭ

Многие считают дроби отдельной «школьной темой», но на самом деле они всплывают почти в каждой задаче базового ЕГЭ — даже там, где их, кажется, быть не должно.

Вот где они встречаются на самом деле:

• Проценты — это дроби со знаменателем 100 (25% = 25/100 = 1/4).

• Пропорции — по сути, равенство двух дробей.

• Скорость — это расстояние, деленное на время: v = S/t, и если S = 150 км, а t = 2,5 ч, то уже работаем с дробью.

• Вероятность — отношение благоприятных исходов ко всем возможным (например, 3/10).

• Даже в уравнениях (задание №5) часто появляются дробные коэффициенты.

Умение спокойно складывать, вычитать и сравнивать дроби помогает не только решить пример, но и оценить, правдоподобен ли ответ. Если получили, что скорость велосипедиста — 0,02 км/ч. А в условии он проехал 12 км за полчаса, значит, где-то потеряли запятую или перепутали числитель со знаменателем.

На занятиях я всегда связываю дроби с бытом. «Если у вас осталось 3/4 упаковки сахара, а по рецепту нужно 2/3 — хватит ли?»
— «Вы купили 1,5 кг яблок, съели 1/3 — сколько осталось?» Так дроби перестают быть «верхом и низом» и становятся инструментом для принятия решений. Этот навык пригодится не только на ЕГЭ, но и в расчетах по кредитам, рецептам, графикам работы.

Если чувствуете, что тема даётся тяжело, до экзамена остается мало времени, структурированная помощь ускоряет прогресс. Хороший курс подготовки к ЕГЭ не просто дает формулы — показывает, как думать, чтобы не бояться ни дробей, ни любых других задач.

Полезные способы тренировки вычитания дробей

Лучше начинать не с марафонов, а с коротких, но регулярных тренировок:

10 примеров в день — это проще, чем один лист на полчаса, и гораздо эффективнее. Главное — не просто сверить ответы, а разобрать каждую ошибку. Почему получилось не так, где сбился, что пропустил. Именно такой разбор превращает промах в устойчивый навык.

Попробуйте проговаривать решение вслух — даже если одни. Скажите: «Привожу к общему знаменателю 4 и 5 — будет 20. Первая дробь: 3/4 = 15/20, вторая: 2/5 = 8/20. Вычитаю числители: 15 − 8 = 7. Ответ — 7/20».

Это может показаться странным, но артикуляция включает слуховую память, заставляет мозг следить за логикой, а не «прыгать» к ответу. Через несколько дней заметите: ошибки из-за спешки почти исчезли.

Раз в два-три дня решайте без подсказок — ни формул, ни заметок. Пусть мозг вспоминает последовательность сам. Это укрепляет автоматизм.

Для гибкости тренируйтесь на дробях с разными знаменателями — не только 2, 3, 4, но и 12, 15, 18. Так быстрее научитесь находить общие кратные и меньше будете зависеть от «удобных» чисел.

Если устали — смените тип задач: после дробей решите текстовую задачу на проценты или площадь. Это дает мозгу отдых, но сохраняет включенность.

А ещё у меня есть личный ритуал. Устраиваю мини-челлендж — кто решит 15 примеров подряд без единой ошибки, тот выбирает, куда пойдём пить кофе. Звучит как игра, но работает: появляется легкая концентрация, а не тревожное «надо успеть».

Как справиться со стрессом и не запутаться на экзамене

На экзамене главная опасность — не ошибка, а внезапный ступор. В этот момент кажется, что все изученные правила испарились из памяти. Первое, что нужно сделать — взять паузу. Откройте черновик и начните записывать дроби так, как вы это делали на подготовке. Эти действия знакомы вашей руке, мозгу — они помогают вернуть ощущение контроля.

Второй союзник — разборчивый почерк. Когда числители и знаменатели написаны четко, видите структуру выражения и реже путаетесь в вычислениях. Аккуратность не для красоты, а для экономии времени и сил.

Не поддавайтесь желанию ускориться ценой точности. Три верно решённых примера принесут вам больше баллов, чем шесть, где вы не уверены в результате. Умение спокойно, методично работать с дробями — это навык, который не подведет в стрессовой обстановке и позволит сохранить силы для более сложных заданий.