Разбор «масштаб на карте» для ЕГЭ математика база

Зачем вообще разбираться с масштабом на карте

Масштаб на карте — это способ показать реальные расстояния на маленьком листе бумаги. Цифры вроде 1:100 000 означают простое правило: 1 сантиметр на карте равен 100 000 сантиметрам на местности.

Ваша главная задача на экзамене — правильно перевести эти сантиметры в километры, метры, с которыми удобно работать.

Практическое правило: чтобы быстро перевести масштаб в километры, закройте пять нулей в числе справа.

1:100 000. 1 см на карте = 1 км на местности (закрыли 5 нулей: 100,000 → 1).

1:50 000. 1 см = 0,5 км (500 метров).

Алгоритм, который предотвратит ошибку:

Приведите всё к одним единицам. Если в задаче расстояние между точками на карте дано в сантиметрах, а масштаб нужно применить к километрам. Сначала переведите сантиметры в километры, используя правило выше. Не работайте с разрозненными единицами измерения.

Умножьте для реального расстояния. Чтобы найти реальное расстояние, умножьте измеренное на карте расстояние (в см) на второе число в масштабе (после двоеточия). Предварительно переведя его в километры, метры.

Делите для расстояния на карте. Чтобы узнать, какой отрезок на карте будет соответствовать реальному расстоянию. Разделите реальное расстояние (в тех же единицах) на второе число в масштабе.

После решения оцените результат. Если у вас получилось, что расстояние между двумя соседними городами на карте региона составляет 2 метра, а реальное — 20 км. Явно перепутали сантиметры с метрами или не перевели единицы. Такой контроль спасает от обидных потерь баллов.

Как работает масштаб и какие бывают типы

На экзамене вы встретите три формы записи масштаба. Умение переводить их в рабочий численный вид — ключ к решению.

Численный (1:100 000). Это основной формат для вычислений. Цифры показывают соотношение: 1 единица на карте равна 100 000 тех же единиц на местности.

Именованный («в 1 см 2 км»). Чтобы превратить его в численный, приведите километры к сантиметрам. Пример: «в 1 см 2 км».

2 км = 200 000 см. Результат: 1:200 000.

Линейный. Это шкала на карте, показывающая, какому реальному расстоянию равен отрезок. Его не нужно вычислять, только использовать для измерений.

Ваш алгоритм для любой задачи:

Стандартизируйте единицы. Приведите все данные к одним величинам, лучше всего — сантиметрам. Это исключает главную ошибку. Пример: Если в условии есть «в 1 см 500 м», переведите 500 м в 50 000 см.

Получите численный масштаб. Убедитесь, что он у вас в формате 1 : N (например, 1:50 000).

Работайте с пропорцией. Расстояние на карте (в см) × N = реальное расстояние (в см). Реальное расстояние (в см) ÷ N = Расстояние на карте (в см).

Проверьте реалистичность. Переведите итоговые сантиметры обратно в километры, метры. Если расстояние между городами оказалось 50 см, а в реальности — 5 метров, вы пропустили шаг с единицами измерения.

Типичные задачи и ловушки ЕГЭ

Задачи в ЕГЭ проверяют не математику, а вашу внимательность к единицам измерения. Сами вычисления просты, но любая спешка ведет к ошибке. Вот как это работает на практике:

Умножение — для перехода от карты к реальности. Если на карте отрезок 4 см, а масштаб 1:50 000, то реальное расстояние равно:
4 см × 50 000 = 200 000 см. Сразу переводите в понятные единицы: 200 000 см = 2 000 м = 2 км.

Деление — для перехода от реальности к карте. Если расстояние 3,6 км, а масштаб 1:200 000, то: сначала переведите километры в сантиметры: 3,6 км = 360 000 см. Затем делите: 360 000 см / 200 000 = 1,8 см на карте.

Единственное правило, которое нужно запомнить: приводите все величины к одним единицам, желательно к сантиметрам. Километры и метры в условии — это ловушка. Ваш первый шаг — их обезвредить, переведя: 1 км = 100 000 см; 1 м = 100 см.

Когда вы работаете с сантиметрами, пропорция выстраивается сама собой. Просто умножаете или делите, не задумываясь о сложных правилах. Результат всегда можно легко конвертировать обратно в метры или километры для итогового ответа.

Как не запутаться в единицах и пропорциях

Главная проблема в задачах на масштаб — не вычисления, а нули. Их легко потерять или добавить лишние при переводе километров в сантиметры. Вот способ, который избавит от путаницы:

Создайте якорь. Запомните одно точное равенство: 1 км = 100 000 см. Запишите его на полях черновика. Это ваш главный ориентир.

Используйте промежуточный шаг. Не переводите километры в сантиметры сразу в уме. Сначала переведите в метры, а затем в сантиметры. Пример: 3,6 км — это 3600 метров. 3600 метров — это 360 000 см.

Вводите проверку на реализм. Прежде чем записать окончательный ответ, спросите себя: «Это правдоподобно?». Расстояние между двумя домами на карте города не может быть 20 км. А между городами на карте области не может быть 2 см.

Если результат выглядит абсурдно, вернитесь к первому шагу и проверьте, сколько нулей вы поставили. Скорее всего, ошибка кроется в степени числа 10. Эта минутная пауза спасет ваш балл.

Практика — единственный способ закрепить навык

Навык работы с масштабом требует не понимания, а практики. Решайте по 2-3 короткие задачи каждые два дня. Этого достаточно, чтобы действия стали автоматическими. Метод для быстрого запоминания:

Создавайте собственные примеры. Возьмите объект — план квартиры, фотографию здания с указанием высоты или даже пиццу. Измерьте что-либо на изображении и рассчитайте реальный размер, задав себе произвольный масштаб (например, 1:100). Этот прием связывает абстрактную формулу с осязаемыми предметами.

Фокусируйтесь на принципе, а не на типах задач. Алгоритм един для карты, чертежа или макета:

Перевести все данные в одинаковые единицы (лучше в сантиметры).

Применить пропорцию: Размер на изображении / Реальный размер = 1 / M, где M — знаменатель масштаба.

Проверить результат на правдоподобность.

Регулярные короткие сессии эффективнее многочасового изучения теории. Ваша цель — добиться состояния, когда видите число в условии, рука сама начинает писать верные вычисления.

Если хотите системно разобраться, советую глянуть онлайн курс подготовки к ЕГЭ — там есть живые видео и куча практических примеров по масштабам и не только. Учиться действительно проще, когда все наглядно.

Как проверить, что действительно поняли тему

Убедитесь, что вы не просто запомнили формулу масштаба, а можете уверенно ею пользоваться. Если без колебаний переводите километры в сантиметры, находите реальное расстояние умножением. А расстояние на карте — делением, и всегда проверяете реалистичность ответа — вы готовы.

Отработайте этот навык на двух типах задач. Первый тип: на карте с масштабом 1:50 000 расстояние между точками составляет 8 см. Ваши действия: умножаете 8 на 50 000, получаете 400 000 см, что равно 4 км. Ответ готов.

Второй тип: масштаб карты 1:200 000, реальное расстояние между деревнями — 6 км. Вы переводите: (6 км = 600 000 см) и делите на масштаб: 600 000 / 200 000 = 3 см. Это и будет искомый отрезок на карте.

Такие вычисления кажутся простыми, но именно они создают ту самую уверенность, которая не позволяет растеряться на экзамене. Чтобы навык не угас, решайте по одной задаче раз в несколько дней. Со временем будете автоматически переводить единицы и проверять логичность результата. А это и есть конечная цель.