Разбор «неопределённый интеграл» для ЕГЭ математика профиль

Что такое неопределенный интеграл и зачем он на ЕГЭ

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Производная показывает, как функция изменяется в данный момент — ее «скорость». Интеграл — это операция обратного восстановления. Если производная отвечает на вопрос «как быстро она меняется?», то неопределённый интеграл «какая функция могла так меняться?».

Формально это записывается как ∫ f(x) dx = F(x) + C. Здесь C — обязательная константа, так как при дифференцировании любая постоянная «обнуляется». Например, производные функций x² + 5 и x² — 3 одинаковы и равны 2x. Поэтому их первообразная: x² + C. Отсутствие C в ответе на ЕГЭ считается ошибкой.

На экзамене вас могут попросить:

• Найти первообразную для заданной функции.

• Восстановить функцию, зная ее производную и точку, через которую проходит график (тогда константа C вычисляется из этого условия).

• Использовать интеграл для вычисления площади — это уже работа с определённым интегралом.

Логика действий прямолинейна: вы ищете функцию, производная которой совпадает с подынтегральным выражением. Освоение этого процесса сводится к уверенному владению таблицей производных, но «в обратную сторону».

Эффективная аналогия: представьте, что есть запись скорости движения в каждый момент времени (производная). Интегрируя ее, вы восстанавливаете пройденный путь (первообразную). А константа C — это то, с какого места начали движение. Эта мысленная модель помогает не путать суть процессов.

Основные правила и формулы, без которых никуда

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Не стоит заучивать формулы отдельно от их смысла. Гораздо эффективнее увидеть в них закономерность: интегрирование — это операция, обратная дифференцированию.

Например, формула ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C — это прямое следствие того, что производная степенной функции равна n*xⁿ⁻¹. Вы умножаете показатель степени на старый коэффициент, а при интегрировании, наоборот, делите на новый. Зная это, вы не ошибетесь в знаке или коэффициенте.

Линейность интеграла ∫(a*f(x) + b·g(x))dx = a*∫f(x)dx + b·∫g(x)dx позволяет разбивать сложные выражения на простые блоки. Это основа в школьной программе.

Базовые паттерны, которые нужно именно понять, а не вызубрить: ∫sinx dx = -cosx + C, потому что производная -cosx равна sinx.

∫cosx dx = sin x + C. ∫1/x dx = ln|x| + C (модуль важен для отрицательных x).

Попробуйте проверить каждую из этих формул, взяв производную от правой части. Этот простой приём превратит абстрактные символы в осмысленное правило. 

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Когда видите интеграл ∫(3x² + 4 cos x) dx, уже не вспоминаете таблицу. А применяете принцип: «разделю на два простых интеграла и возьму каждый по своему правилу». Именно такое понимание позволяет решать нестандартные задачи, где формула замаскирована.

Методы интегрирования: замена, части и прочие фокусы

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Когда основные паттерны интегрирования стали понятны, переходите к главным приемам. Замене переменной и интегрированию по частям.

Метод замены переменной (подстановки) — это способ упростить сложное выражение. Если в интеграле видна композиция функций, например, cos(x²), попробуйте обозначить внутреннюю часть новой буквой: u = x². После замены интеграл часто сводится к табличному. 

Ключевой момент: не забывайте выразить dx через du. В примере ∫2x·cos(x²)dx, где u = x², получаем du = 2xdx, и интеграл превращается в ∫cos u du.

Интегрирование по частям — это инструмент для интегралов от произведения функций, которые сложно взять одной подстановкой. Формула ∫u dv = uv — ∫v du требует правильного выбора: что обозначить за u, а что за dv. 

Эмпирическое правило: за u часто берут логарифм (ln x), арктангенс (arctg x) или степенную функцию. За dv оставляют оставшуюся часть, включая dx. Например, в интеграле ∫x·eˣ dx логично положить u = x, а dv = eˣ dx.

Как выбрать метод? Сначала ищите возможность подстановки: есть ли сложное выражение и его производная (с точностью до постоянного множителя)? Если интеграл — произведение разных типов функций (многочлен на экспоненту, логарифм на степенную), пробуйте интегрирование по частям.

Этих двух приемов достаточно для большинства задач профильного ЕГЭ. Умение быстро распознать структуру подынтегрального выражения — навык, который приходит с практикой на конкретных примерах.

Типичные ошибки и как их не повторять

Главная и самая дорогая ошибка — забыть добавить константу + C в ответе для неопределённого интеграла. Производная от x² + 5 и от x² — 3 одинакова, поэтому правильный ответ. Всегда семейство функций: x² + C.

Вторая по частоте — ошибки в технике замены переменной. Важно не просто ввести новую переменную u, но и корректно выразить дифференциал dx. Если вы положили u = 2x + 1, то du = 2 dx, а значит dx = du / 2. Потеря этого множителя 1/2 гарантированно ведёт к неверному ответу. Всегда выписывайте этот шаг.

Третья проблема возникает при переходе к определенному интегралу. Здесь, сделав замену, необходимо изменить и пределы интегрирования, подставив старые границы в формулу замены. Если вернуться к старой переменной, можно оставить старые пределы, но это повышает риск арифметической ошибки.

Как себя проверить? Лучший способ — дифференцирование. Найдя первообразную F(x), вычислите её производную F'(x). Она должна в точности совпасть с исходной подынтегральной функцией. Эта простая проверка занимает 15 секунд, но сразу выявляет потерю коэффициента или ошибку в знаке.

Не пытайтесь пропускать этапы решения, даже если кажется, что всё очевидно. Аккуратная запись каждого шага — залог того, что вы не упустите множитель, сможете легко проверить себя. На экзамене выигрывает не тот, кто решает быстрее всех в уме, а тот, кто делает это надёжно, системно.

Как эффективно готовиться к теме интегралов

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Чтобы освоить интегралы, начинайте с типовых задач из сборников ФИПИ или профильных пособий. Начните с простых примеров на нахождение первообразной, затем переходите к методам подстановки и интегрирования по частям. Решайте осознанно: после каждого шага спрашивайте себя, почему вы применили именно это правило.

Дополните самостоятельную работу структурированным курсом. Онлайн-школа подготовки к ЕГЭ предлагает не только теорию, но и систему практики с обратной связью, где можно разобрать именно ваши ошибки, задать вопросы. Это помогает закрыть пробелы, которые часто ускользают при самостоятельной подготовке.

Раз в неделю посвящайте 20-30 минут повторению. Восстановите в памяти связь между основными производными и первообразными, запишите формулы методов. Подход отделяет понимание логики от механического решения задач. И помогает видеть интегралы как естественную часть математического языка, а не как набор сложных техник.

Спокойствие, уверенность и немного вдохновения

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Да, страх перед интегралами — это реакция на новое. Он проходит, когда начинаете видеть в них не магические символы, а понятный механизм: операцию, обратную взятию производной.

Каждая ошибка не провал, а точная диагностика. Ошибся в замене переменной? Теперь ты точно знаешь, что следующий шаг — аккуратно выписать дифференциал du. Забыл константу +C? Это четкий сигнал, что нужно проверить ответ дифференцированием. Эти промахи исправляют не пробелы в памяти, а невнимательность, что гораздо проще улучшить.

Когда вы перестаете бояться ошибиться, интегралы превращаются в решаемую головоломку. Они тренируют важный навык: разбивать сложное выражение на простые блоки и последовательно их обрабатывать. Эта дисциплина ума пригодится далеко за пределами экзамена.

На финишной прямой ваша главная задача не учить всё заново, а довериться той системе, которую уже построили. Если вы понимаете, откуда берутся формулы, как они связаны, сможете восстановить логику в любой ситуации. Интегралы — это просто финальная проверка того, насколько хорошо освоили язык математики.