Школа ЕГЭ: математика база — десятичные дроби

Что такое десятичные дроби и зачем они нужны

Помогают записывать части числа 1 в удобной для вычислений форме. Например: 0,5 — это половина, 3,27 — три и двадцать семь сотых, 12,004 — двенадцать и четыре тысячных.

По сути, это те же обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, 1000 т.д. Просто запись с запятой короче, быстрее в работе: 3/10 легко превратить в 0,3, а дальше уже можно спокойно считать, особенно на калькуляторе.

На экзамене встречаются повсюду — в процентах, длинах, скоростях, формулах. Поэтому важно не только знать, что это такое, но и уверенно с ними обращаться: читать, сравнивать, складывать, переводить в обыкновенные.

Запомните главное: запятая делит число на целую, дробную части. Первая показывает, сколько целых, а вторая — сколько десятых, сотых, тысячных долей осталось. Сначала это кажется запутанным, но стоит решить несколько примеров — принцип станет очевидным.

Как из обыкновенной дроби сделать десятичную

Обычная дробь превращается в десятичную, если в знаменателе стоит 10, 100, 1000 и т.д. Например:
3/10 = 0,3; 47/100 = 0,47; 125/1000 = 0,125.

Если знаменатель другой, его можно «довести» до степени десяти. Для этого умножаем числитель, знаменатель на одно и то же число. Так, 1/4 × 25 = 25/100, а значит, 1/4 = 0,25.

Но не все дроби превращаются в короткое десятичное число. Например, 1/3 = 0,3333… — бесконечная периодическая. На экзамене такие записи не должны сбивать. Важно знать, как округлять результат, а не пытаться записать все цифры.

Есть простой способ заранее узнать, будут ли дроби конечными или бесконечными. Если знаменатель раскладывается только на множители 2, 5 — получится конечная десятичная. Так, 1/8 = 125/1000 = 0,125.

А если среди множителей есть 3, 7 или 9 — дробь станет периодической. Зная это, вы заранее понимаете, какой вид примет результат, не будете терять время на догадки.

Правила сложения, вычитания и сравнения

Работать с десятичными просто, если помнить одно правило — запятые должны стоять друг под другом. Тогда сложение, вычитание проходят как с целыми числами.

Например: 1,25 + 0,7 удобно записать как 1,25 + 0,70 = 1,95. То же самое с вычитанием — главное, чтобы запятая в обоих числах стояла в одной колонке.

Чтобы сравнить десятичные дроби, сделайте их одинаковой длины после запятой. Например: 0,4, 0,35 превращаются в 0,40, 0,35 — видно, что 0,40 больше. Этот прием особенно помогает, когда нужно быстро принимать решения, как на экзамене.

Полезно уметь обратное — переводить десятичные в обыкновенные. Это помогает лучше понимать смысл задачи. Например, 0,125 — это 1/8, а 0,75 — 3/4.

В некоторых заданиях такое преобразование сразу показывает, какие величины равны, а какие нет. Немного тренировки — работа с запятыми перестаёт вызывать трудности, даже если раньше математика казалась сложной.

Умножение и деление десятичных дробей

Большинство ошибок при умножении, делении десятичных дробей появляется не из-за сложности, а из-за волнения. На деле всё просто.

Умножение: временно уберите запятые. Перемножьте числа как целые. Поставьте запятую обратно — столько цифр после нее должно быть, сколько их было в обоих множителях вместе. Например: 2,3 × 1,2 → 23 × 12 = 276. Возвращаем запятую — получаем 2,76.

Деление: главное — сделать делитель целым числом. Для этого умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 и т.д., пока в делителе не исчезнет запятая. Пример: 4,2 ÷ 0,6 → 42 ÷ 6 = 7.

Такой подход избавляет от путаницы, делает вычисления наглядными. На экзамене десятичные дроби часто встречаются в реальных задачах — при расчете процентов, стоимости, средней скорости. Если уверенно владеете этими действиями, то не отвлекаетесь на технические мелочи. Всё внимание уходит на суть задачи — это ключ к спокойствию, точным ответам.

Типичные ошибки и как их избежать

Самая частая ошибка при работе с десятичными дробями — забытая запятая. Особенно это случается, когда человек сосредоточен на самих вычислениях и не замечает, где нужно поставить разделитель.

Вторая по популярности — округление слишком рано. Если сокращать числа в середине решения, результат теряет точность. Правило простое: округляем только в конце. Ну и классика — запятые не выровнены при сложении, вычитании. Из-за этого всё «съезжает», ответ оказывается неверным.

Чтобы стать увереннее, попробуйте простой способ: выпишите несколько примеров и проговаривайте каждый шаг вслух. Так закрепите не только цифры, но и логику действий. Потом срабатывает автоматически.

Если хочется системной практики и проверки, стоит попробовать занятия в онлайн школе подготовки к ЕГЭ. Там помогают отработать навык до устойчивого результата, подсказывают, где теряются баллы.

И не забывайте про проценты — они напрямую связаны с десятичными дробями. 12% — это 0,12, 7,5% — 0,075. Когда вы видите эту связь, задачи на скидки, прибыль или рост становятся гораздо проще, логичнее.

Как тренироваться эффективно и не сойти с ума

Тренировки с десятичными дробями не должны вызывать скуку. Всё зависит от подхода. Я видел, как ученики сначала с трудом справлялись с примерами, а через неделю решали их с азартом. Просто потому, что начали воспринимать задания как игру.

Попробуйте разнообразить занятия: один день — сложение и сравнение, другой — деление и округление. Меняйте формат: часть заданий решайте письменно, часть устно, на скорость.

Хороший прием — устроить себе десятиминутный квест. Поставьте таймер и решайте как можно больше примеров за отведенное время. После — проверьте ответы, отметьте ошибки без самокритики. Именно они подскажут, над чем стоит поработать. Через несколько таких подходов уверенность приходит сама собой — запятые перестают пугать.

Еще один совет: не стесняйтесь задавать вопросы. Даже «глупый», на первый взгляд, вопрос вроде «почему запятая стоит здесь?» помогает увидеть логику, а не просто заучивать правила. Любая неясность — это не провал, а шаг к пониманию. А понимание — лучшая страховка на ЕГЭ.

Тренируйте внимание, относитесь к дробям спокойно, с интересом, тогда математика перестанет быть источником стресса. А станет понятной системой, где всё логично и предсказуемо.