Сложные проценты на ОГЭ по математике: как решать задачи без ошибок

Для чего нужны сложные проценты на экзамене

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Тема на ОГЭ по математике часто кажется сложнее, чем есть на самом деле. Я объяснял её десяткам девятиклассников, и почти каждый сначала говорит: «Банк, проценты — я не могу». Но банк здесь не главное.

Суть в том, что если величина меняется на процент несколько раз, каждый раз процент считается от нового значения. Например, вклад 10 000 рублей вырос на 10% — стало 11 000. На следующий год снова 10%, но уже от 11 000, получается 12 100. Это и есть сложные проценты.

В ОГЭ такие задачи могут быть про вклады, цены, население, бактерии или скидки. Сюжет меняется, но механизм один: повторное процентное изменение.

Я сам в школе ошибался, складывая проценты: 10 + 10 = 20. Но это работает только при простых процентах. В сложных процентах каждый шаг считается от новой суммы.

Задача — научиться узнавать такие задачи и правильно применять формулу. Тогда они перестают казаться лотереей.

Формула сложных процентов без паники и лишней магии

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Основная формула для сложных процентов выглядит так: если сумма увеличивается на p процентов n раз, итог вычисляется как начальная сумма, умноженная на коэффициент роста в степени n. Коэффициент при росте на p процентов равен (1 + p/100), при снижении — (1 − p/100).

Например, вклад 20 000 рублей под 5% годовых на 3 года: итог = 20 000 · 1,05³. Сначала вычисляется коэффициент, затем возводится в степень и умножается на начальную сумму.

Важно понимать: коэффициент 1,05 означает, что к исходной сумме добавляется 5%. При росте на 12% — 1,12, при снижении на 20% — 0,8. Если изменения происходят с разными процентами, коэффициенты перемножаются: рост на 10%, затем на 20% даёт 1,1 · 1,2.

Процент сам по себе — это доля, а не конечное число. 15% — это 0,15, а рост на 15% — это уже 1,15. Это различие часто становится источником ошибок.

Простые правила: при росте умножать на (1 + p/100), при снижении — на (1 − p/100), при нескольких изменениях — перемножать коэффициенты, для нахождения начальной суммы делить итог на коэффициент. И главное — не складывать проценты при повторных изменениях.

Как решать задачу за четыре спокойных шага

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

Я обычно объясняю сложные проценты как последовательность действий, похожую на приготовление по рецепту. Важен порядок, а не попытка сделать всё сразу.

1. Первый шаг — найти начальную величину: вклад, цену, население. Лучше обвести её в условии, чтобы не терять из виду.

1. Второй — выписать все изменения: где рост, где снижение. Не стоит держать это в памяти.

1. Третий — перевести проценты в коэффициенты. Рост на 8% — это 1,08, скидка 8% — 0,92.

1. Четвёртый — составить выражение и аккуратно вычислить.

Пример: цена товара 5000 рублей. Сначала повысили на 10%, потом снизили на 10%. Расчёт: 5000 · 1,1 · 0,9 = 4950. Цена не вернулась к исходной, потому что проценты считались от разных сумм.

Типичные ловушки в задачах на сложные проценты

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

В задачах на сложные проценты ошибки часто повторяются.

1. Самая популярная — сложить проценты: два роста по 10% дают не 20%, а коэффициент 1,21.

1. Перепутать рост и долю. Если вклад вырос на 12%, то новая сумма — 112% от старой, коэффициент 1,12. Не 0,12.

1. Забыть про количество периодов. Слова «ежегодно», «каждый месяц», «в течение трёх лет» задают степень или число множителей.

1. Округлить слишком рано. Лучше считать точно, особенно при возведении в квадрат или куб.

1. Путать скидку с обратным действием. Если цена выросла на 25%, а потом упала на 25%, итог не возвращается к исходной цене: 1,25 · 0,75 = 0,9375.

1. Невнимательно читать вопрос. Итоговая сумма и прибыль — разные вещи. Прибыль — это разница между итогом и началом.

Перед записью ответа стоит проверить: сумма после роста стала больше начальной, после скидки — меньше, и ответ точно соответствует вопросу. Эти три проверки помогают избежать большинства ошибок.

Разбор задач на сложные проценты в экзаменационном духе

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

В первой задаче вклад 30 000 рублей растёт на 6% в год. Через два года сумма вычисляется по формуле: 30 000 · 1,06². Коэффициент 1,06² = 1,1236, итог — 33 708 рублей. Если бы спрашивали доход, он составил бы 3 708 рублей.

Во второй задаче цена куртки 8 000 рублей сначала снижается на 15%, затем на 10%. Коэффициенты: 0,85 и 0,9. Итоговая цена: 8 000 · 0,85 · 0,9 = 6 120 рублей.

В третьей задаче цена выросла с 10 000 до 12 100 рублей после двух одинаковых повышений. Пусть коэффициент одного повышения — x. Тогда 10 000 · x² = 12 100, откуда x² = 1,21, x = 1,1, то есть повышение составило 10%.

Если начальная сумма неизвестна, она находится делением итога на коэффициент. Например, после роста на 20% получили 18 000, значит, исходная сумма была 18 000 : 1,2 = 15 000.

Направление простое: из прошлого в будущее — умножаем на коэффициент, из будущего в прошлое — делим. Это правило выручает в большинстве задач.

Тренировка перед ОГЭ: маленький план и задания

** изображение создано или обработано с помощью ИИ.

К уверенному решению задач на сложные проценты можно прийти без героических усилий. Достаточно короткой, но регулярной практики — например, по 15 минут в день. Это работает лучше, чем ночной марафон перед экзаменом.

В первый день стоит потренироваться переводить проценты в коэффициенты: рост на 7% — это 1,07, снижение — 0,93. Двадцать таких примеров помогают привыкнуть к этому шагу.

Второй день — задачи на одно изменение: вклад вырос, цена упала. Здесь важно не путать 0,12 и 1,12.

Третий день — два или три изменения подряд, комбинация роста и скидки. Полезно проверять здравый смысл: после двух скидок цена не может вырасти.

Четвёртый день — обратные задачи: найти начальную сумму по итоговой или процент по двум значениям. Это чаще всего вызывает трудности.

Примеры для самостоятельной тренировки:

1. вклад 40 000 рублей под 5% на два года;

1. цена 12 000 рублей после снижения на 20% и повышения на 10%;

1. найти начальную сумму, если после роста на 15% стало 23 000;

1. найти процент, если цена выросла с 5 000 до 6 050 за два одинаковых повышения.

Ответы стоит записывать полностью — с единицами измерения. Экзамен ценит аккуратность. Не стоит подбирать формулу наугад — лучше читать условие, находить изменения и расставлять коэффициенты. Тогда сложные проценты перестают быть страшной темой и становятся обычной рабочей задачей.

Путаешь рост на 10% и снижение на 10% и удивляешься, почему цена не вернулась? В ЕГЭLAND мы учим не складывать проценты, а видеть логику сложных процентов. Где коэффициент роста, где коэффициент снижения, как не попасться на ловушку с последовательными изменениями. Попробуй разбор задачи на проценты бесплатно.