Средняя скорость пути и другие темы к ЕГЭ

Что скрывается за формулой средней скорости пути

Понятие «средняя скорость пути» часто понимают неверно. Многие думают, что если до пункта назначения ехать 60 км/ч, а обратно 40 км/ч. То средняя скорость — это простое среднее арифметическое, то есть 50 км/ч. Это привычная, но опасная ловушка, в которую попадает большинство.

На самом деле, для этого маршрута вычисляется иначе. В этом примере она составит 48 км/ч. Потому что это не среднее от скоростей, а общее расстояние, деленное на затраченное время.

Разберём на цифрах:

Представьте, что расстояние в одну сторону составляет 120 км.

Тогда путь «туда» займет 120 / 60 = 2 часа.

«Обратно» — 120 / 40 = 3 часа.

Общее расстояние: 120 + 120 = 240 км.

Общее время: 2 + 3 = 5 часов.

Действительная средняя скорость: 240 км / 5 ч = 48 км/ч.

Причина расхождения в том, что мы провели больше времени, двигаясь с меньшей скоростью (3 часа против 2). Это «перевесило» быстрый участок.

Ваша цель — запомнить универсальный принцип: настоящая средняя скорость равна общему расстоянию, деленному на общее время. Не усредняйте цифры интуитивно, а нужно проследить за временем, затраченным на каждый отрезок. Этот осознанный подход защитит от потери баллов на экзамене, поможет решить любую вариацию этой задачи.

Как не запутаться в формулах движения

Главная причина ошибок — путаница между средней скоростью, простым средним арифметическим. Чтобы избежать её, в первую очередь анализируйте условие задачи. Определите: движение происходит на разных участках пути? Одинаковы ли затраты на них? Равны ли сами расстояния?

Ваша стратегия должна быть такой:

Найдите общий пройденный путь.

Сложите всё время.

Разделите первое на второе.

Например, если один отрезок вы преодолели за 1 час, а другой — за 2, то просто усреднить нельзя. Нужно считать именно по формуле: весь путь / всё время.

Практическая рекомендация: не пренебрегайте обычным чертежом. Нарисованная от руки схема со стрелками помогает зрительно выделить участки движения, сразу понять их соотношение. Этот прием делает неочевидное наглядным, предотвращает абсурдные результаты вроде лодки под 300 км/ч.

Типичные ловушки и мои «полевые» случаи

На экзамене наш мозг часто подменяет логику штампами. Уверенность, что поезд всегда быстрее велосипеда, может заставить вас пропустить главные цифры в условии. Проблема часто не в сложности расчетов, а в том, что мы не вслушиваемся в задание.

Классическая ловушка — движение туда и обратно в отличающемся темпе. Здесь работает одно железное правило: средняя скорость = весь путь / всё время. Эта формула универсальна. Не пытайтесь усреднять — просто посчитайте общее расстояние, время, а затем разделите их.

Не усложняйте. Часто задача решается в два действия без громоздких уравнений. Внимательно подставьте числа из условия, и увидите, как они складываются в простой ответ. Ваша цель — понять принцип, а не запомнить алгоритм. Когда осознаете, что считаете. А не «скорости вообще», вы сможете решить любую вариацию этой задачи.

Как решать задачи с несколькими участками пути

Разберемся с заданиями, где движение происходит на разных участках с разной скоростью. Возьмем пример из живой практики ЕГЭ: автомобиль ехал первые 2 часа 60 км/ч, а следующие 3 часа — 80 км/ч. Нужно найти среднюю скорость на всем пути.

Начинайте с расчета расстояний для каждого отрезка. Первый участок: 2 часа умножьте на 60 км/ч, получится 120 км. Второй: 3 часа на 80 км/ч дают 240 км.

Теперь сложите все расстояния: 120 км + 240 км = 360 км — это общий путь. Затем сложите все временные отрезки: 2 ч + 3 ч = 5 часов — это общее время. Остается применить базовую формулу: разделите весь путь на время. 360 км / 5 ч = 72 км/ч. Это и будет ответ.

Частая ошибка — пытаться усреднить скорости напрямую, складывая 60 и 80 и деля на два. Получается 70 км/ч, но это неверно, потому что автомобиль провел разное время на каждом участке.

Запомните принцип: всегда находите общий путь и время отдельно, а уже потом делите. Этот подход работает для любого количества участков, помогает избежать большинства ошибок на экзамене.

От теории к практике: как тренироваться продуктивно

Чтобы научиться решать разные задачи, важно не количество решенных примеров, а их разнообразие. Начните с базовых сценариев: движение по течению, против, по замкнутому маршруту (туда и обратно), с разной скоростью на отрезках.

Выработайте ритм: лучше решать по 2-3 задачи ежедневно, чем устраивать многочасовой штурм раз в неделю. Короткие, но регулярные занятия помогают мозгу надежнее усваивать логику и принципы.

После решения каждой задачи уделите минуту, чтобы мысленно пройтись по ходу рассуждений. Спросите себя: «Какой был общий путь? Как я нашел время?». Такой анализ надежнее закрепляет понимание, чем простое переписывание формул.

Использование нынешних образовательных платформ по курсам подготовки к ЕГЭ может сделать этот процесс более структурированным, продуктивным.

Как проверять решение за минуту и избежать досадных ошибок

Даже зная формулу, можно допустить ошибку в расчетах. Научитесь быстро проверять ответ — это спасет вас на экзамене.

После решения задачи задайте себе три контрольных вопроса:

Получившаяся скорость может быть такой? (Если в задаче про велосипед вышло 150 км/ч — где-то ошибка).

Средняя скорость лежит между минимальной и большей на участках?

Если скорости на участках отличается, средняя ближе к той, где было потрачено больше времени?

Пример для проверки. В задаче «60 км/ч и 40 км/ч» правильный ответ 48 км/ч вправду ближе к 40 км/ч — мы больше ехали медленнее. Если бы получилось 52 км/ч — это явный сигнал пересчитать.

Иногда в условии говорят не о времени, а о расстояниях: «половину ехал 60 км/ч, остальное — 80 км/ч». Здесь тоже работает наше правило: находим время для каждого участка, складываем все, только потом делим.

Заведите привычку тратить 60 секунд на проверку каждой решенной задачи. Сначала это кажется лишней тратой времени, но на экзамене такая привычка спасает 2-3 первичных баллов.