Термодинамические циклы и цикл Карно

Термодинамические процессы, в которых участвует система, могут происходить таким образом, что в конечном итоге система возвращается в исходное состояние — такие процессы в совокупности называют газовыми циклами. Приведем пример такого процесса на графике —  сначала газ изохорно нагревается (процесс 1 -> 2), затем изобарно расширяется (процесс 2 ->3), после чего возвращается в исходное состояние (процесс 3-1).

Важно! Так как система возвращается в исходное состояние, то изменение внутренней энергии системы за цикл равно нулю, то есть . При этом работа газа за цикл равна площади внутри цикла на графике в pV-осях. Если цикл протекает по часовой стрелке, то работа газа за цикл положительна, если против часовой стрелки — отрицательна.

Скорее всего вам известно, что такое двигатель внутреннего сгорания автомобиля. Задумывались ли вы, каким образом он работает? Все верно, мы заправляем машину бензином, а двигатель преобразует внутреннюю энергию сгорания бензина в механическую работу. Такие устройства, которые предназначены для получения полезной работы за счет внутренней энергии, называются тепловыми двигателями и их работа основана на термодинамических циклах.

Тепловые двигатели состоят из трех элементов:

1. нагреватель
2. рабочее тело
3. холодильник

В качестве рабочего тела чаще всего используется газ. Он получает от нагревателя энергию , за счет чего расширяется, совершая механическую работу (по первому началу термодинамики). Но это еще не все — оставшуюся часть энергии газ должен отдать холодильнику  — , чтобы вернуться в исходное состояние и иметь возможность повторить тот же цикл, получая ту же энергию от нагревателя, поэтому внешние силы сжимают газ до исходного состояния.

Таким образом, работа газа определяется разностью количества теплоты, полученной от нагревателя (), и количества теплоты, отданной холодильнику ():

Было бы идеально, если бы все полученное тепло от нагревателя преобразовывалось в работу газа, однако в системе всегда будут присутствовать потери, которые необходимы для циклической работы двигателя. В данном случае такими потерями является тепло, отданное холодильнику. В конечном счете мы можем оценить эффективность работы двигателя по тому, какая часть энергии преобразуется в механическую работу, за это отвечает коэффициент полезного действия цикла (КПД):

Так как , то КПД даже теоретически не может быть больше 100%. На практике же, чаще всего он гораздо ниже 100% и сильно зависит от того, в каком термодинамическом цикле участвует газ. Цикл, КПД которого достигает максимальное значение, называется циклом Карно, а тепловые машины, работающие по принципу цикла Карно — идеальными тепловыми машинами.

Цикл Карно состоит из двух изотермических и двух адиабатных процессов, такой цикл является самым эффективным.

• Процесс 1-2 — изотермическое расширение (газ получает тепло от нагревателя )

• Процесс 2-3 — адиабатное расширение. Так как процесс адиабатный, то теплообмена с окружающей средой нет.

• Процесс 3-4 — изотермическое сжатие (газ отдает тепло холодильнику )

• Процесс 4-1 — адиабатное сжатие. Газ возвращается в исходное состояние без теплообмена с окружающей средой.

КПД цикла Карно (за исключением общей формулы, приведенной ранее), выражается как:

то есть КПД цикла Карно полностью определяется разностью температур нагревателя и холодильника (не стоит забывать, что все температуры в формулах должны быть в Кельвинах). Так как такой цикл является самым эффективным, то при тех же температурах холодильника и нагревателя тепловая машина, работающая по любому другому циклу, будет иметь КПД меньше, чем КПД цикла Карно.

Задачи на нахождение КПД циклов

Для начала решим несколько простых заданий тестовой части.

№ 1. Тепловая машина с КПД 25 % за цикл получает от нагревателя количество теплоты, равное 100 Дж. Какое количество теплоты отдает машина за цикл холодильнику?

Решение:

Имеем , Дж.

Согласно формуле для нахождения КПД:

Выразим тепло, отданное холодильнику:

Ответ: 75 Дж

№ 2. У идеального теплового двигателя Карно температура нагревателя равна 327ºС, а температура холодильника равна 27ºС. Определите количество теплоты, полученное нагревателем, если известно, что количество теплоты, отданное холодильнику равно 50 Дж.

Решение:

Переведем температуры в Кельвин:

Запишем формулы КПД для общего случая и цикла Карно:

Тогда:

Выражаем тепло, полученное от нагревателя:

Ответ: 100 Дж

№ 3. Задача № 24 ЕГЭ (вторая часть)

В тепловом двигателе 1 моль одноатомного разреженного газа совершает цикл 1−2−3−4−1, показанный на графике в координатах p−T, где p  — давление газа, Т  — абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.

Решение:

1. Для начала определим, на каких участках газ получает тепло, а на каких отдает

1) Процесс 1-2 — изохорный, значит, V = const,  работа газа на этом участке равна нулю. Так как температура газа повышается, то внутренняя энергия увеличивается. По первому началу термодинамики:

Значит, газ получает тепло на участке 1-2

2) Процесс 2-3 — изобарный. Температура газа увеличивается, значит внутренняя энергия газа растет.

По закону Гей-Люссака:

Так как , значит газ расширяется, работа газа положительна.

Газ получает тепло в процессе 2-3.

3) Процесс 3-4 — изохорный, работа газа равна нулю. Температура газа уменьшается, значит изменение внутренней энергии отрицательно

Значит газ в процессе 3-4 отдает тепло.

4) Процесс 4-1 — изобарный. Температура газа понижается, значит изменение внутренней энергии отрицательно. Так как по закону Гей-Люссака, то есть газ сжимают, работа газа отрицательна

Таким образом, количество теплоты, полученное от нагревателя, равно

А количество теплоты, отданное холодильнику, равно

2. Найдем количество теплоты, полученное газом

1)

2)

Так как процесс 2-3 изобарный (), то работу газа можно найти используя формулу

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона для двух состояний:

Получим формулу для работы газа;

Тогда подставляя в первое начало термодинамики, получим:

3Вычислим, как относятся температуры и .

Участок 1-2 изохорный, по закону Шарля:

Значит, давление в процессе 1-2 увеличилось в 2 раза.

Участок 3-4 изохорный, по закону Шарля:

Таким образом,

Количество теплоты, полученное газом, равно

 3. Найдем работу газа за цикл:

В предыдущем пункте мы уже нашли работу газа на участке 2-3 как

Аналогично работа на участке 4-1 (отрицательна, так как внешние силы совершают работу над газом):

4. КПД цикла:

Ответ: 15%

Резюме:

1. Газовый цикл — совокупность термодинамических процессов, совершаемых над газом, в результате которых газ возвращается в исходное состояние
2. Работа газа в цикле равна площади внутри графика в pV-осях. Если цикл идет по часовой стрелке — работа газа положительна, если против – отрицательна
3. Изменение внутренней энергии газа за цикл равно нулю
4. Тепловые двигатели — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую
5. Тепловые двигатели состоят из нагревателя, рабочего тела (газ) и холодильника
6. Максимально возможный КПД имеет цикл Карно. Тепловые двигатели, работающие по циклу Карно, называют идеальными. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат.

---

Примеры задач на эту тему:

Задание 1. Задача № 8 (тестовая часть)

Тепловая машина с КПД 40 % за цикл работы отдает холодильнику количество теплоты, равное 60 кДж. Какое количество теплоты машина получает за цикл от нагревателя? Ответ приведите в кДж.

Ответ

100

Источник: Сборник задач по физике Демидова 2023

Задание 2. Задача № 9 (тестовая часть)

На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с одноатомным идеальным газом, в координатах V-T, где V — объем газа, T — абсолютная температура газа. Количество вещества газа постоянно. Из приведенного ниже списка выберите все верные утверждения, характеризующие отраженные на графике процессы.

1. Давление газа в процессе CD постоянно, при этом над газом внешние силы совершают положительную работу.
2. В процессе DA давление газа изохорно увеличивается.
3. В процессе AB газ получает положительное количество теплоты.
4. В процессе B концентрация атомов газа минимальна.
5. В процессе BC внутренняя энергия газа уменьшается.

Ответ

134

Источник: Сборник задач по физике Демидова 2023

Задание 3.
Задача № 24 (2 часть)

С одним молем идеального одноатомного газа проводят циклический процесс 1−2−3−1, где 1−2  — адиабата, 2−3  — изобара, 3−1  — изохора. Температуры в точках 1, 2, 3 равны 600 К, 455 К и 300 К соответственно. Найдите КПД цикла.

Ответ

13,9 %

Источник: ЕГЭ по физике 2019, досрочная волна

---